Une bijection, et une valeur exacte

La bijection. $f$ est dérivable avec $f^{\prime }(x)=5x^4+1>0$ : elle est strictement croissante, donc injective. Elle est continue, et ${\lim }_{-\infty }f=-\infty$, ${\lim }_{+\infty }f=+\infty$. Le théorème de la bijection donne une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$.

La valeur $f^{-1}(1)$. On résout $x^5+x-1=1$, soit $x^5+x=2$. Or $x=1$ convient : $1+1=2$. Par unicité,

$$f^{-1}(1)=1\text{exactement}.$$

Aucun encadrement n'est nécessaire — l'énoncé demandait deux dixièmes, la réponse tombe juste. Il faut savoir chercher la racine évidente avant de lancer une dichotomie.

Là où un encadrement est vraiment utile : $f^{-1}(0)$, c'est-à-dire la racine de $x^5+x-1=0$. On a $f(0,7)=-0,132$ et $f(0,8)=0,128$, donc $0,7<f^{-1}(0)<0,8$ — et là, aucune valeur exacte n'est accessible : l'équation est de degré $5$.