Une forme indéterminée $1^{\infty }$

On ramène la puissance à une exponentielle. Pour $x>-1$ et $x\ne 0$, la quantité $(1+x{)}^{1/x}$ est bien définie et strictement positive, et

$$(1+x{)}^{1/x}=\exp \left(\frac{\ln (1+x)}{x}\right).$$

L'exposant est un taux d'accroissement. On écrit $1=\ln (1)$ et $x=(1+x)-1$ :

$$\frac{\ln (1+x)}{x}=\frac{\ln (1+x)-\ln (1)}{(1+x)-1}.$$

C'est exactement le taux d'accroissement de la fonction $\ln$ entre le point $1$ et le point $1+x$. Or $\ln$ est dérivable en $1$, de dérivée ${\ln }^{\prime }(1)=\frac{1}{1}=1$. Quand $x\to 0$, le point $1+x$ tend vers $1$, donc ce taux tend vers $1$.

On compose par l'exponentielle, qui est continue en $1$ :

$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{1/x}={\mathrm{e}}^1=\mathrm{e}.$$

Le point délicat. On n'a le droit ni d'écrire « $1$ puissance l'infini vaut $1$ », ni de faire tendre séparément la base et l'exposant : la forme est indéterminée. C'est le passage au logarithme qui la lève, en transformant un produit d'effets contraires en un quotient qu'on sait reconnaître.

Le point à retenir. Toute forme $u^v$ indéterminée se traite en écrivant $u^v={\mathrm{e}}^{v\ln u}$ : on ne raisonne jamais sur la base et l'exposant séparément. Et un quotient dont le numérateur s'annule au même point que le dénominateur est presque toujours un taux d'accroissement déguisé.