Une intégration par parties

Ce qu'on montre. Le calcul, en choisissant les deux facteurs de façon que la nouvelle intégrale soit plus simple que l'ancienne.

Le choix. La formule d'intégration par parties s'écrit, pour $u$ et $v$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$ : $${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }=[uv{]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }v.$$ On pose $$u(x)=x+1,v^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x},$$ d'où $$u^{\prime }(x)=1,v(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}.$$ Ces fonctions sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,1]$. Le choix est guidé par le fait que dériver $x+1$ donne $1$ : le nouvel intégrande sera une simple exponentielle.

Le calcul. $${\int }_0^1(x+1){\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=[-(x+1){\mathrm{e}}^{-x}{]}_0^1+{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x.$$ Le terme tout intégré vaut $$-2{\mathrm{e}}^{-1}-(-1\times {\mathrm{e}}^0)=1-\frac{2}{\mathrm{e}}.$$ L'intégrale restante vaut $${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=[-{\mathrm{e}}^{-x}{]}_0^1=-\frac{1}{\mathrm{e}}+1=1-\frac{1}{\mathrm{e}}.$$

Le résultat. $${\int }_0^1(x+1){\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=\left(1-\frac{2}{\mathrm{e}}\right)+\left(1-\frac{1}{\mathrm{e}}\right)=2-\frac{3}{\mathrm{e}}\approx 0,896.$$

Point délicat. Le signe : $v(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}$, et le $-$ de la formule s'ajoute à celui de $v$, ce qui transforme le second terme en une addition. Deux signes négatifs se croisent, c'est là que se perdent les points.