Une somme de Riemann

La somme a exactement la forme $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ avec

$$f(x)=\frac{1}{1+x^2},$$

c'est-à-dire une somme de Riemann de $f$ sur $[0,1]$, à pas $\frac{1}{n}$ et points de subdivision $\frac{k}{n}$ (méthode des rectangles à droite).

$f$ étant continue sur $[0,1]$, la somme converge vers l'intégrale :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+(k/n{)}^2}={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=[\arctan x{]}_0^1=\frac{\pi }{4}\approx 0,7854.$$

Vérification numérique : pour $n=10^5$, la somme vaut $0,785396$, contre $\frac{\pi }{4}=0,785398$.

Comment reconnaître une somme de Riemann : un facteur $\frac{1}{n}$ devant, et une expression où $k$ n'apparaît que par le quotient $\frac{k}{n}$. Si l'un des deux manque, ce n'en est pas une — et le réflexe est alors de factoriser pour l'y ramener.