Une suite d'intégrales, encadrée puis chaînée

L'encadrement. Pour $x\in [0,1]$ on a $1\le 1+x\le 2$, donc en divisant $x^n\ge 0$ par cet encadrement :

$$\frac{x^n}{2}\le \frac{x^n}{1+x}\le x^n.$$

La croissance de l'intégrale sur $[0,1]$ donne alors

$$\frac{1}{2(n+1)}\le I_n\le \frac{1}{n+1},$$

puisque ${\int }_0^1{x}^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}$. Les deux bornes tendent vers $0$ : par encadrement, $I_n\to 0$.

La relation de récurrence. On additionne deux termes consécutifs sous l'intégrale, ce qui fait apparaître $1+x$ en facteur au numérateur :

$$I_n+I_{n+1}={\int }_0^1\frac{x^n+x^{n+1}}{1+x}\mathrm{d}x={\int }_0^1\frac{x^n(1+x)}{1+x}\mathrm{d}x={\int }_0^1{x}^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}.$$

Les deux premiers termes.

$$I_0={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x}=[\ln (1+x){]}_0^1=\ln 2,$$

puis la relation avec $n=0$ donne $I_1=1-I_0=1-\ln 2\approx 0,307$, valeur bien située entre $\frac{1}{4}$ et $\frac{1}{2}$ comme l'annonçait l'encadrement.

Le point à retenir. On n'a calculé aucune primitive de $\frac{x^n}{1+x}$ : encadrer l'intégrande donne la limite, et combiner deux termes de la suite fait disparaître le dénominateur gênant. C'est la méthode standard pour une suite d'intégrales.