Une suite définie par une équation

Ce qu'on montre. L'existence et l'unicité de $x_n$ par le théorème de la bijection, puis la monotonie et la limite — sans jamais calculer $x_n$.

Existence et unicité. Posons $g_n(x)=x^n+x-1$ sur $[0,1]$. Cette fonction est continue (polynomiale) et strictement croissante, comme somme de $x\mapsto x^n$ (croissante sur $[0,1]$, strictement pour $n\ge 1$) et de $x\mapsto x-1$ (strictement croissante). De plus $$g_n(0)=-1<0,g_n(1)=1>0.$$ D'après le théorème de la bijection, $g_n$ réalise une bijection de $[0,1]$ sur $[-1,1]$ ; l'équation $g_n(x)=0$ admet donc une unique solution $x_n$, et $x_n\in \left]0,1\right[$ puisque $g_n$ ne s'annule ni en $0$ ni en $1$.

Contrôle : pour $n=1$, l'équation est $2x=1$, d'où $x_1=\frac{1}{2}$.

Croissance de la suite. Évaluons $g_{n+1}$ au point $x_n$, en utilisant $x_n^n=1-x_n$ : $$g_{n+1}(x_n)=x_n^{n+1}+x_n-1=x_n\cdot x_n^n-x_n^n=x_n^n(x_n-1).$$ Or $0<x_n<1$, donc $x_n^n>0$ et $x_n-1<0$ : ainsi $g_{n+1}(x_n)<0=g_{n+1}(x_{n+1})$. La fonction $g_{n+1}$ étant strictement croissante sur $[0,1]$, cette inégalité entraîne $$x_n<x_{n+1}.$$ La suite est donc strictement croissante.

Convergence. $(x_n)$ est croissante et majorée par $1$ : d'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel $\ell$, avec $x_1=\frac{1}{2}\le \ell \le 1$.

La limite vaut $1$. Raisonnons par l'absurde en supposant $\ell <1$. La suite étant croissante de limite $\ell$, on a $x_n\le \ell$ pour tout $n$, donc $$0<x_n^n\le {\ell }^n.$$ Comme $0\le \ell <1$, on a ${\ell }^n\to 0$, donc par encadrement $x_n^n\to 0$. Or l'équation donne $x_n=1-x_n^n$, d'où $$x_n⟶1.$$ Par unicité de la limite, $\ell =1$, ce qui contredit $\ell <1$. Donc $\ell =1$.

Point délicat. L'astuce centrale est d'évaluer $g_{n+1}$ au point $x_n$ : c'est ce qui compare deux suites définies par deux équations différentes, sans qu'aucune ne soit résolue explicitement. Comparer $g_n$ et $g_{n+1}$ en un point quelconque n'aurait rien donné.