Une suite récurrente, et sa vitesse

La stabilité de $[0,1]$. Posons $f(x)=\frac{1}{2+x}$, définie et décroissante sur $[0,1]$. Alors $f(0)=\frac{1}{2}$ et $f(1)=\frac{1}{3}$, donc $f([0,1])=\left[\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right]\subset [0,1]$. Comme $u_0=0\in [0,1]$, une récurrence immédiate donne $u_n\in [0,1]$ pour tout $n$.

Le point fixe. $f(\ell )=\ell$ équivaut à $\ell (2+\ell )=1$, soit ${\ell }^2+2\ell -1=0$, dont les racines sont $-1\pm \sqrt{2}$. Une seule est dans $[0,1]$ : $\ell =\sqrt{2}-1\approx 0,414$.

La contraction. $f$ est dérivable avec $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{(2+x{)}^2}$. Pour $x\in [0,1]$ on a $(2+x{)}^2\ge 4$, donc

$$|f^{\prime }(x)|\le \frac{1}{4}.$$

L'inégalité des accroissements finis s'applique alors sur $[0,1]$, qui contient à la fois $u_n$ et $\ell$ :

$$|u_{n+1}-\ell |=|f(u_n)-f(\ell )|\le \frac{1}{4}|u_n-\ell |.$$

Conclusion. Par récurrence, $|u_n-\ell |\le 4^{-n}|u_0-\ell |=4^{-n}\ell \le 4^{-n}$, puisque $\ell \le 1$. Comme $4^{-n}\to 0$, la suite converge vers $\ell$ — en gagnant un peu plus d'un demi-chiffre décimal par itération.

Le point à retenir. Trois étapes, toujours les mêmes : un intervalle stable, un point fixe dedans, une majoration de $|f^{\prime }|$ par un $k<1$. L'inégalité des accroissements finis fait le reste, et elle donne la vitesse, pas seulement la convergence.