Une tangente, et deux tangentes horizontales

Ce qu'on montre. Une équation de tangente, puis les points à tangente horizontale — deux lectures du même calcul de dérivée.

La dérivée. $f$ est polynomiale, donc dérivable sur $\mathbb{R}$, et $$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$

La tangente au point d'abscisse $2$. L'équation de la tangente en $a$ est $$y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a).$$ Ici $a=2$, avec $$f(2)=8-6=2,f^{\prime }(2)=3\times 4-3=9.$$ D'où $$y=9(x-2)+2=9x-16.$$ Contrôle : en $x=2$, cette droite vaut $18-16=2=f(2)$ ; elle passe bien par le point de contact.

Les tangentes horizontales. Une tangente est horizontale lorsque son coefficient directeur est nul, c'est-à-dire lorsque $f^{\prime }(x)=0$ : $$3(x-1)(x+1)=0⟺x=1\text{ ou }x=-1.$$ Les points correspondants sont $$(1,f(1))=(1,-2)\text{et}(-1,f(-1))=(-1,2),$$ puisque $f(1)=1-3=-2$ et $f(-1)=-1+3=2$.

Point délicat. « Tangente horizontale » ne signifie pas « extremum » en général : $x\mapsto x^3$ a une tangente horizontale en $0$ sans y présenter d'extremum. Ici c'est le changement de signe de $f^{\prime }$ qui garantit qu'il s'agit bien d'extremums.