Variations et maximum d'une fonction

Ce qu'on montre. Le tableau de variations complet, et la valeur du maximum.

La dérivée. $f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ : $$f^{\prime }(x)=1\times {\mathrm{e}}^{-x}+x\times (-{\mathrm{e}}^{-x})=(1-x){\mathrm{e}}^{-x}.$$

Le signe de la dérivée. L'exponentielle est strictement positive, donc $f^{\prime }(x)$ est du signe de $1-x$ :

• $f^{\prime }>0$ sur $\left]-\infty ,1\right[$ : $f$ est strictement croissante ;
• $f^{\prime }(1)=0$ ;
• $f^{\prime }<0$ sur $\left]1,+\infty \right[$ : $f$ est strictement décroissante.

Les limites.

• En $-\infty$ : $x\to -\infty$ et ${\mathrm{e}}^{-x}\to +\infty$, donc le produit tend vers $-\infty$.
• En $+\infty$ : c'est la forme indéterminée $+\infty \times 0$, levée par les croissances comparées : $$f(x)=\frac{x}{{\mathrm{e}}^x}⟶0.$$ L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $+\infty$, la courbe restant au-dessus puisque $f(x)>0$ pour $x>0$.

Le maximum. La fonction croît jusqu'en $1$ puis décroît : elle atteint donc en $x=1$ un maximum global, égal à $$f(1)=1\times {\mathrm{e}}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}\approx 0,368.$$

Tableau résumé. $f$ croît de $-\infty$ à $\frac{1}{\mathrm{e}}$ sur $\left]-\infty ,1\right]$, puis décroît de $\frac{1}{\mathrm{e}}$ à $0$ sur $\left[1,+\infty \right[$. L'image de $\mathbb{R}$ par $f$ est donc $\left]-\infty ,\frac{1}{\mathrm{e}}\right]$.

Point délicat. Le minimum, lui, n'existe pas : $f$ prend des valeurs aussi négatives qu'on veut en $-\infty$, sans jamais atteindre de plus petite valeur. Un extremum n'existe que s'il est atteint.