Combien de numéros différents en $m$ tirages ?

La décomposition en indicatrices. Pour $i\in [[1,n]]$, notons $A_i$ l'événement « le numéro $i$ sort au moins une fois » et $1_{A_i}$ son indicatrice. Compter les numéros sortis, c'est compter les $A_i$ réalisés :

$$X=1_{A_1}+1_{A_2}+\cdots +1_{A_n}.$$

L'espérance d'une indicatrice est la probabilité de son événement. On passe au contraire : $\overline{A_i}$ signifie que le numéro $i$ n'est sorti à aucun des $m$ tirages. Ces tirages sont indépendants et chacun évite $i$ avec probabilité $\frac{n-1}{n}$, donc

$$P\left(\overline{A_i}\right)={\left(1-\frac{1}{n}\right)}^m,E\left(1_{A_i}\right)=P(A_i)=1-{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^m.$$

La linéarité conclut. Les $n$ indicatrices ont la même espérance, et la linéarité de l'espérance ne réclame aucune indépendance — ce qui tombe bien, car les $A_i$ ne sont pas indépendants :

$$E(X)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)=n\left(1-{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^m\right).$$

Contrôle. Pour $m=1$ on trouve $E(X)=n\times \frac{1}{n}=1$ : un seul tirage donne un seul numéro. Pour $m$ grand, l'expression tend vers $n$.

Le point à retenir. La loi de $X$ est ici inextricable, son espérance tient en trois lignes. Dès qu'une variable compte des événements, on l'écrit comme somme d'indicatrices et on invoque la linéarité.