De quelle usine vient la pièce ?

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 6 — Probabilités sur un ensemble fini · Probabilités conditionnelles et indépendance

Énoncé

Deux usines produisent $60 %$ et $40 %$ des pièces, avec $2 %$ et $5 %$ de défauts. Une pièce défectueuse vient le plus probablement de laquelle ?

Corrigé

Notons $U_{1}, U_{2}$ l'usine et $D$ « défectueuse ».

Probabilités totales :

$P (D) = 0, 6 \times 0, 02 + 0, 4 \times 0, 05 = 0, 012 + 0, 020 = 0, 032.$

Bayes :

$P_{D} (U_{1}) = \frac{0 , 012}{0 , 032} = 0, 375, P_{D} (U_{2}) = \frac{0 , 020}{0 , 032} = 0, 625.$

La pièce vient donc le plus probablement de l'usine 2, avec près de deux chances sur trois — alors même que cette usine ne fabrique que $40 %$ du total.

Pourquoi le renversement. L'usine $2$ produit moins, mais son taux de défaut est deux fois et demie plus élevé ; ce second facteur l'emporte. La probabilité a priori $0, 4$ devient, une fois l'observation prise en compte, une probabilité a posteriori de $0, 625$ . C'est tout le mécanisme de Bayes : une croyance initiale, corrigée par une donnée.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.