Deux à deux, mais pas mutuellement

Chacun compte deux issues sur quatre : $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}$.

Deux à deux. Les trois intersections deux à deux valent $\{1\}$ :

$$P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}.$$

Les trois couples sont donc indépendants.

Mutuellement, non. L'indépendance mutuelle exigerait en plus

$$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)=\frac{1}{8},$$

or $A\cap B\cap C=\{1\}$, de probabilité $\frac{1}{4}$.

Ce que cela veut dire concrètement. Connaître un des trois ne renseigne pas sur un autre. Mais en connaître deux détermine le troisième avec certitude : si $A$ et $B$ sont réalisés, l'issue est $1$, donc $C$ l'est aussi.

La conséquence pour la définition. L'indépendance mutuelle réclame une égalité pour chaque sous-famille d'au moins deux événements, et cet exemple montre qu'aucune n'est superflue : l'égalité sur les paires n'entraîne pas celle sur le triplet. La réciproque est fausse aussi — on peut vérifier l'égalité sur le triplet sans l'avoir sur les paires.