Deux personnes nées le même jour

Ce qu'on montre. Une probabilité qui se calcule uniquement par son complémentaire, et un résultat contraire à l'intuition.

Le modèle. Une répartition des dates est une liste de $n$ jours, l'ordre comptant puisque les personnes sont distinguables, et les répétitions étant permises. L'univers est donc de cardinal $$\mathrm{card}\Omega =365^n,$$ toutes ces listes étant équiprobables par hypothèse.

Le complémentaire. L'événement contraire de « au moins deux personnes partagent une date » est « les $n$ dates sont deux à deux distinctes ». Une telle liste s'obtient en choisissant la date de la première personne ($365$ possibilités), puis celle de la deuxième parmi les $364$ restantes, et ainsi de suite : $$\mathrm{card}\left(\overline{A}\right)=365\times 364\times \cdots \times (365-n+1),$$ ce produit comportant $n$ facteurs. Cela suppose $n\le 365$ ; au-delà, deux personnes partagent nécessairement une date et $q_n=1$.

La formule. Pour $1\le n\le 365$ : $$q_n=1-\frac{365\times 364\times \cdots \times (365-n+1)}{365^n}.$$

Application numérique. Pour $n=23$, le dernier facteur est $365-23+1=343$, et l'énoncé fournit la valeur du quotient : $$q_{23}=1-0,493=0,507.$$

Point délicat. Il faut compter au numérateur des listes ordonnées sans répétition, et non des parties : les personnes sont distinguables, donc « Alice le 3 mars et Bob le 4 mars » diffère de la situation inverse. Le dénominateur $365^n$ compte lui aussi des listes ordonnées : les deux comptages doivent être de même nature, sinon le quotient n'a aucun sens.