Divisible par deux, par trois ou par cinq

Notons $A$, $B$, $C$ les événements « divisible par $2$ », « par $3$ », « par $5$ ». L'univers compte $100$ issues équiprobables : chaque probabilité est un effectif divisé par $100$.

Les effectifs simples. Le nombre de multiples de $d$ dans $[[1,100]]$ est la partie entière de $\frac{100}{d}$ :

$$|A|=50,|B|=33,|C|=20.$$

Les intersections. Être divisible par $2$ et par $3$, c'est l'être par $6$ ; de même $2$ et $5$ donnent $10$, $3$ et $5$ donnent $15$, les trois donnent $30$ :

$$|A\cap B|=16,|A\cap C|=10,|B\cap C|=6,|A\cap B\cap C|=3.$$

La formule du crible pour trois événements :

$$|A\cup B\cup C|=50+33+20-16-10-6+3=74,$$

d'où $P(A\cup B\cup C)=0,74$.

Le point délicat est le passage des couples de diviseurs à leur produit : il n'est licite que parce que $2$, $3$ et $5$ sont premiers entre eux deux à deux. Avec $2$ et $4$, l'intersection serait l'ensemble des multiples de $4$, pas de $8$.

Le point à retenir. Le crible corrige un double comptage, puis corrige la correction : on ajoute les termes simples, on retranche les intersections deux à deux, on remet l'intersection triple. Le contrôle rapide est qu'un élément appartenant aux trois soit compté exactement une fois : $3-3+1=1$.