$E(X)=np$ par les indicatrices

La décomposition. Une binomiale compte les succès de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes. Notons $X_i$ l'indicatrice du succès à la $i$-ième épreuve :

$$X_i=\{\begin{array}{ll}1& \text{si succeˋs},\\ 0& \text{sinon},\end{array}\text{de sorte que}X=X_1+\cdots +X_n.$$

L'espérance d'une indicatrice est la probabilité de l'événement qu'elle indique : $E(X_i)=1\times p+0\times (1-p)=p$.

La linéarité conclut en une ligne :

$$E(X)=\sum _{i=1}^{n}E(X_i)=np.$$

Ce qu'on a économisé. Le calcul direct demanderait d'évaluer ${\sum }_{k=0}^{n}k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$, donc de simplifier $k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)$ puis de reconnaître un binôme.

Et l'indépendance ? Elle n'a servi à rien : la linéarité de l'espérance vaut sans elle. C'est ce qui rend la méthode si puissante — on la retrouvera au problème des rencontres, où les indicatrices ne sont pas indépendantes et où $E(X)$ se calcule pourtant de la même façon. Pour la variance, en revanche, l'indépendance est indispensable.