Indépendance et passage au contraire

On décompose $A$ selon que $B$ est réalisé ou non — les deux morceaux étant disjoints :

$$A=(A\cap B)\cup (A\cap \overline{B}),\text{donc}P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B}).$$

D'où, en utilisant l'hypothèse $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ :

$$P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(\overline{B}).$$

C'est exactement la définition de l'indépendance de $A$ et $\overline{B}$.

Portée. En itérant, $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont eux aussi indépendants. Autrement dit, l'indépendance est une propriété du couple d'informations, pas des événements pris littéralement : si savoir que $B$ est arrivé ne renseigne pas sur $A$, savoir qu'il n'est pas arrivé n'en dit pas davantage.

À ne pas confondre avec l'incompatibilité. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : la réalisation de l'un exclut l'autre, ce qui est l'information maximale.