Indépendant n'est pas incompatible

Ce qu'on montre. Trois tests d'indépendance, et la distinction avec l'incompatibilité. Le modèle est $\Omega =[[1,6]{]}^2$ équiprobable, de cardinal $36$.

Les probabilités de base. $A$ correspond aux couples dont le premier terme est dans $\{2,4,6\}$ : $\mathrm{card}A=3\times 6=18$, donc $P(A)=\frac{1}{2}$. La somme vaut $7$ pour $6$ couples, donc $P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$. Elle vaut $12$ pour le seul couple $(6,6)$, donc $P(C)=\frac{1}{36}$. Enfin $\mathrm{card}D=6$ et $P(D)=\frac{1}{6}$.

Le couple $(A,B)$ : indépendant. Les couples de somme $7$ dont le premier terme est pair sont $(2,5)$, $(4,3)$, $(6,1)$, soit $3$ couples : $$P(A\cap B)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12},P(A)P(B)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{12}.$$ Les deux nombres coïncident : $A$ et $B$ sont indépendants.

Le couple $(A,C)$ : non indépendant. $A\cap C=\{(6,6)\}$, donc $$P(A\cap C)=\frac{1}{36},P(A)P(C)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{36}=\frac{1}{72}.$$ $\frac{1}{36}\ne \frac{1}{72}$ : $A$ et $C$ ne sont pas indépendants. Savoir que la somme vaut $12$ garantit que le premier dé est pair.

Le couple $(A,D)$ : incompatible, donc non indépendant. Si le premier dé donne $1$, il n'est pas pair : $A\cap D=\varnothing$, donc $$P(A\cap D)=0,P(A)P(D)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{12}\ne 0.$$ $A$ et $D$ ne sont pas indépendants.