L'écart entre deux dés

Ce qu'on montre. Une loi obtenue par dénombrement, puis les deux premiers moments.

Le modèle. L'univers est $\Omega =[[1,6]{]}^2$, l'ensemble des couples $(a,b)$ de résultats, de cardinal $36$, tous équiprobables. La variable est $X=|a-b|$, donc $X(\Omega )=[[0,5]]$.

Le dénombrement. Pour $k=0$ : les couples avec $a=b$, il y en a $6$. Pour $k\ge 1$ : $|a-b|=k$ signifie $b=a+k$ ou $b=a-k$ ; le premier cas donne $6-k$ couples (pour $a$ de $1$ à $6-k$), le second également par symétrie. Donc $2(6-k)$ couples.

$$\begin{array}{ccccccc}k& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ \text{effectif}& 6& 10& 8& 6& 4& 2\\ P(X=k)& \frac{6}{36}& \frac{10}{36}& \frac{8}{36}& \frac{6}{36}& \frac{4}{36}& \frac{2}{36}\end{array}$$

Contrôle : la somme des effectifs vaut $6+10+8+6+4+2=36$, donc les probabilités somment bien à $1$.

L'espérance. Par définition, $$E(X)=\sum _{k=0}^{5}kP(X=k)=\frac{0\times 6+1\times 10+2\times 8+3\times 6+4\times 4+5\times 2}{36}=\frac{70}{36}=\frac{35}{18}\approx 1,944.$$

Le moment d'ordre deux. Par le théorème de transfert appliqué à $g(x)=x^2$ : $$E\left(X^2\right)=\sum _{k=0}^5{k}^{2}P(X=k)=\frac{10+4\times 8+9\times 6+16\times 4+25\times 2}{36}=\frac{210}{36}=\frac{35}{6}.$$

La variance, par Kœnig-Huygens. $$V(X)=E\left(X^2\right)-E(X{)}^2=\frac{35}{6}-{\left(\frac{35}{18}\right)}^2=\frac{1890}{324}-\frac{1225}{324}=\frac{665}{324}\approx 2,052,$$ d'où un écart-type $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}\approx 1,43$.

Point délicat. Le transfert évite d'avoir à déterminer la loi de $X^2$ : on somme $k^{2}P(X=k)$ avec la loi de $X$, et non $jP(X^2=j)$. Les deux calculs donnent le même résultat, mais le premier est immédiat.