L'espérance est le meilleur nombre pour résumer $X$

Ce qu'on montre. Que la fonction $g$ est un trinôme du second degré, et que son minimum caractérise l'espérance.

$g$ est bien définie. $X$ étant finie, $(X-a{)}^2$ est une variable aléatoire finie pour tout $a$, donc admet une espérance : $g(a)$ existe pour tout réel $a$.

Développement. Par le théorème de transfert appliqué à $x\mapsto (x-a{)}^2$, puis par linéarité de l'espérance : $$g(a)=E(X^2-2aX+a^2)=E\left(X^2\right)-2aE(X)+a^2,$$ la constante $a^2$ ayant pour espérance $a^2$ et le facteur $-2a$ sortant de l'espérance. Notons $m=E(X)$ et $s=E(X^2)$ : $$g(a)=a^2-2ma+s.$$ C'est bien un trinôme en $a$, de coefficient dominant $1>0$.

Forme canonique et minimum. $$g(a)=(a-m{)}^2+s-m^2.$$ Le carré étant positif ou nul, et nul seulement pour $a=m$, la fonction $g$ atteint son minimum en $$a=m=E(X),$$ et ce minimum vaut $$g(m)=s-m^2=E\left(X^2\right)-E(X{)}^2=V(X),$$ la dernière égalité étant la formule de Kœnig-Huygens.

Contrôle. Pour $X$ certaine égale à $c$ : $g(a)=(c-a{)}^2$, minimale en $a=c=E(X)$, de minimum $0=V(X)$. Pour $X$ de loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $g(a)=a^2-2pa+p$, minimale en $p$, de valeur $p-p^2=p(1-p)$, qui est bien la variance.