L'urne de Pólya

Notons $B_1$ et $B_2$ les événements « le premier (resp. le second) tirage donne une blanche ». Posons $N=a+b$.

Le premier tirage se fait dans l'urne initiale : $P(B_1)=\frac{a}{N}$ et $P(\overline{B_1})=\frac{b}{N}$.

Les conditionnelles. Après le premier tirage, l'urne contient $N+1$ boules. Si la première était blanche, elle compte $a+1$ blanches ; sinon elle en compte toujours $a$ :

$$P_{B_1}(B_2)=\frac{a+1}{N+1},P_{\overline{B_1}}(B_2)=\frac{a}{N+1}.$$

Les probabilités totales, appliquées au système complet $(B_1,\overline{B_1})$ :

$$P(B_2)=\frac{a}{N}\cdot \frac{a+1}{N+1}+\frac{b}{N}\cdot \frac{a}{N+1}=\frac{a(a+1)+ab}{N(N+1)}.$$

On factorise le numérateur par $a$ : $a(a+1)+ab=a(a+1+b)=a(N+1)$. D'où

$$P(B_2)=\frac{a(N+1)}{N(N+1)}=\frac{a}{N}=\frac{a}{a+b}=P(B_1).$$

Le point délicat. Cette égalité ne dit pas que les deux tirages sont indépendants : ils ne le sont pas, puisque $P_{B_1}(B_2)\ne P(B_2)$. Elle dit seulement que, sans information sur le premier tirage, le second a la même loi.

Le point à retenir. Une même probabilité marginale n'est pas de l'indépendance. Le renforcement se compense exactement en moyenne : c'est la factorisation du numérateur qui le prouve, et elle vaut pour tout nombre de boules ajoutées.