La loi du carré, et le théorème de transfert

$X$ prend les cinq valeurs $-2,-1,0,1,2$, chacune avec probabilité $\frac{1}{5}$. Par symétrie, $E(X)=0$.

La loi de $Y=X^2$. Les valeurs possibles sont $0$, $1$ et $4$. Deux valeurs de $X$ donnent le même carré dès qu'elles sont opposées, et les événements correspondants sont incompatibles :

$$P(Y=0)=\frac{1}{5},P(Y=1)=\frac{2}{5},P(Y=4)=\frac{2}{5}.$$

La somme vaut bien $1$.

Première façon, par la définition, à partir de la loi de $Y$ :

$$E(Y)=0\times \frac{1}{5}+1\times \frac{2}{5}+4\times \frac{2}{5}=\frac{2}{5}+\frac{8}{5}=2.$$

Seconde façon, par le théorème de transfert, qui dispense de déterminer la loi de $Y$ :

$$E(X^2)=\sum _{k=-2}^2{k}^{2}P(X=k)=\frac{4+1+0+1+4}{5}=\frac{10}{5}=2.$$

La variance. La formule de Kœnig-Huygens donne

$$V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=2-0=2,$$

ce que confirme la formule du cours pour la loi uniforme sur $[[a,b]]$ : $\frac{(b-a+1{)}^2-1}{12}=\frac{25-1}{12}=2$.

Le point à retenir. Le transfert calcule $E(g(X))$ sans la loi de $g(X)$ : on somme $g(k)P(X=k)$. Déterminer la loi de $Y$ reste utile quand on veut $Y$ elle-même — mais pour une seule espérance, c'est du travail perdu.