Le gain d'un jeu

Ce qu'on montre. La loi du gain, ses deux premiers moments, et une conclusion sur le jeu.

Le nombre de piles. Notons $Y$ le nombre de piles obtenus. On répète deux fois de façon indépendante une épreuve de succès $\frac{1}{2}$, donc $Y\hookrightarrow \mathcal{B}\left(2;\frac{1}{2}\right)$ : $$P(Y=0)=\frac{1}{4},P(Y=1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}\right)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2},P(Y=2)=\frac{1}{4}.$$

La loi de $X$. Le gain est $X=3Y-2$. L'application $y\mapsto 3y-2$ étant injective, les probabilités se transportent sans regroupement : $$\begin{array}{cccc}x& -2& 1& 4\\ P(X=x)& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}$$

L'espérance. Par linéarité, avec $E(Y)=np=2\times \frac{1}{2}=1$ : $$E(X)=3E(Y)-2=3-2=1\text{euro}.$$ Contrôle par la définition : $-2\times \frac{1}{4}+1\times \frac{1}{2}+4\times \frac{1}{4}=-0,5+0,5+1=1$.

La variance. Par la formule $V(aY+b)=a^{2}V(Y)$, avec $V(Y)=np(1-p)=2\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ : $$V(X)=3^2\times \frac{1}{2}=\frac{9}{2}=4,5,\sigma (X)=\frac{3}{\sqrt{2}}\approx 2,12.$$ Contrôle par Kœnig-Huygens : $E(X^2)=4\times \frac{1}{4}+1\times \frac{1}{2}+16\times \frac{1}{4}=1+0,5+4=5,5$, donc $V(X)=5,5-1=4,5$.

Le jeu est-il favorable ? $E(X)=1>0$ : sur un grand nombre de parties, le joueur gagne en moyenne $1$ euro par partie. Le jeu lui est favorable.

Point délicat. L'espérance ne dit rien d'une partie isolée : une fois sur quatre le joueur perd $2$ euros, et l'écart-type $2,12$ est deux fois plus grand que le gain moyen. Un jeu favorable en espérance peut parfaitement se solder par des pertes sur quelques parties.