Le plus grand numéro tiré

Il y a $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=120$ tirages, équiprobables. $X$ prend ses valeurs dans $[[3,10]]$.

La loi. $X=k$ signifie que $k$ est tiré et que les deux autres boules portent des numéros inférieurs à $k$ : il y a $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{2}\right)$ façons de les choisir. Donc

$$P(X=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)},3\le k\le 10.$$

Les numérateurs valent $1,3,6,10,15,21,28,36$ pour $k=3,\dots ,10$, et leur somme fait bien $120$ — c'est l'identité ${\sum }_{k=3}^{10}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)$.

L'espérance.

$$E(X)=\frac{3\cdot 1+4\cdot 3+5\cdot 6+6\cdot 10+7\cdot 15+8\cdot 21+9\cdot 28+10\cdot 36}{120}=\frac{990}{120}=8,25.$$

Une formule générale. Pour $r$ boules tirées parmi $n$, $E(\max )=\frac{r(n+1)}{r+1}$. Ici $\frac{3\times 11}{4}=8,25$ : le compte est bon. Le maximum est donc, en moyenne, bien plus proche de $10$ que du centre — trois tirages suffisent à s'approcher du sommet.