Le problème des rencontres

La décomposition. Pour $i\in [[1,n]]$, notons $X_i$ l'indicatrice de l'événement « la personne $i$ retrouve son chapeau ». Alors

$$X=X_1+X_2+\cdots +X_n.$$

L'espérance d'une indicatrice. La redistribution étant uniforme parmi les $n!$ permutations, la personne $i$ reçoit chacun des $n$ chapeaux avec la même probabilité $\frac{1}{n}$. Donc

$$E(X_i)=P(\text{la personne }i\text{ retrouve son chapeau})=\frac{1}{n}.$$

La linéarité conclut :

$$E(X)=\sum _{i=1}^{n}E(X_i)=n\times \frac{1}{n}=1.$$

Ce qui rend ce calcul remarquable. Les $X_i$ ne sont pas indépendants — si $n-1$ personnes ont retrouvé leur chapeau, la dernière l'a forcément aussi. Peu importe : la linéarité de l'espérance ne suppose aucune indépendance. Chercher d'abord la loi de $X$ serait bien plus long : elle fait intervenir les dérangements, et $P(X=0)\to {\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,368$.

Le résultat lui-même est frappant : en moyenne, une personne exactement retrouve son chapeau, que le groupe compte $3$ personnes ou $3$ millions. Doubler l'assemblée double les occasions de coïncidence et divise par deux leur probabilité — les deux effets se compensent exactement.