Lire un conditionnement dans un tableau

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 6 — Probabilités sur un ensemble fini · Probabilités conditionnelles

Énoncé

Dans une population de $200$ personnes, on compte $120$ hommes, dont $30$ fument, et $80$ femmes, dont $16$ fument. On choisit une personne au hasard. Calculer la probabilité qu'elle fume, la probabilité qu'elle fume sachant que c'est un homme, et la probabilité que ce soit un homme sachant qu'elle fume.

Corrigé

Ce qu'on montre. Trois probabilités, dont deux conditionnelles, lues sur un tableau d'effectifs.

Le tableau. Notons $H$ l'événement « la personne est un homme » et $F$ l'événement « la personne fume ». $H H total F 301646 F 9064154 total 12080200$ La personne étant choisie au hasard parmi $200$ , le modèle est équiprobable.

La probabilité de fumer. L'effectif des fumeurs est $30 + 16 = 46$ , donc $P (F) = \frac{46}{200} = 0, 23.$

Fumer sachant que c'est un homme. Conditionner par $H$ , c'est se restreindre à la ligne des hommes, qui devient le nouvel univers : $P_{H} (F) = \frac{P ( H \cap F )}{P ( H )} = \frac{30/200}{120/200} = \frac{30}{120} = 0, 25.$

Être un homme sachant qu'on fume. On se restreint cette fois à la colonne des fumeurs : $P_{F} (H) = \frac{P ( H \cap F )}{P ( F )} = \frac{30/200}{46/200} = \frac{30}{46} = \frac{15}{23} \approx 0, 652.$

Point délicat. Les deux probabilités conditionnelles ne sont pas égales et ne parlent pas de la même chose : $0, 25$ est la proportion de fumeurs parmi les hommes, $0, 652$ la proportion d'hommes parmi les fumeurs. Les confondre est l'erreur la plus répandue en probabilités conditionnelles.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.