On tire d'abord le nombre de pièces à lancer

Ce qu'on montre. Une loi obtenue par la formule des probabilités totales, l'aléa portant à la fois sur le nombre d'épreuves et sur leur résultat.

Le système complet. Les événements $[N=1]$, $[N=2]$, $[N=3]$ sont deux à deux incompatibles, de réunion $\Omega$, et de probabilité $\frac{1}{3}$ chacun : c'est un système complet.

Les probabilités conditionnelles. Sachant $[N=n]$, on lance $n$ pièces équilibrées indépendantes : le nombre de piles suit alors la loi binomiale de paramètres $n$ et $\frac{1}{2}$, donc $$P_{[N=n]}(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-k}=\frac{1}{2^n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)(0\le k\le n),$$ et cette probabilité est nulle pour $k>n$.

La loi de $X$. L'ensemble des valeurs est $X(\Omega )=[[0,3]]$. La formule des probabilités totales donne, pour chaque $k$ : $$P(X=k)=\sum _{n=1}^3\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2^n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right).$$

• $k=0$ : $\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{3}\times \frac{7}{8}=\frac{7}{24}$ ;
• $k=1$ : $\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}\right)=\frac{1}{3}\times \frac{11}{8}=\frac{11}{24}$ ;
• $k=2$ : $\frac{1}{3}\left(0+\frac{1}{4}+\frac{3}{8}\right)=\frac{1}{3}\times \frac{5}{8}=\frac{5}{24}$ ;
• $k=3$ : $\frac{1}{3}\times \frac{1}{8}=\frac{1}{24}$.

Contrôle : $\frac{7+11+5+1}{24}=\frac{24}{24}=1$.

L'espérance. $$E(X)=\sum _{k=0}^{3}kP(X=k)=\frac{0\times 7+1\times 11+2\times 5+3\times 1}{24}=\frac{24}{24}=1.$$

Point délicat. $X$ n'est pas une variable binomiale : le nombre d'épreuves est lui-même aléatoire. Écrire directement $E(X)=n\times \frac{1}{2}$ n'a aucun sens tant que $n$ n'est pas fixé — c'est le conditionnement qui rend le calcul possible.