Pair ou supérieur à cinq

Ce qu'on montre. Quatre probabilités dans un modèle équiprobable, et la formule du crible à deux événements.

Le modèle. $\Omega =[[1,6]]$, de cardinal $6$, le dé étant équilibré : tous les résultats sont équiprobables, donc $P(E)=\frac{\mathrm{card}E}{6}$ pour tout événement $E$.

Les événements, en extension. $$A=\{2,4,6\},B=\{5,6\},A\cap B=\{6\}.$$

Les trois premières probabilités. $$P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},P(A\cap B)=\frac{1}{6}.$$

La réunion, par la formule du crible. $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{3+2-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$

Contrôle par dénombrement direct. $A\cup B=\{2,4,5,6\}$, de cardinal $4$, donc $P(A\cup B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Les deux méthodes coïncident.

Pourquoi retrancher $P(A\cap B)$. En ajoutant $P(A)$ et $P(B)$, le résultat $6$, qui appartient aux deux événements, est compté deux fois. On le retranche une fois pour rétablir le compte. Sans cette correction, on trouverait $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$, valeur trop grande.

Le cas où la correction est inutile. Si $A$ et $B$ étaient incompatibles, $A\cap B$ serait vide, de probabilité nulle, et l'additivité donnerait directement $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. Ce n'est pas le cas ici, puisque le résultat $6$ réalise les deux à la fois.