Regarder le premier tirage depuis le second

Ce qu'on montre. Une probabilité totale, puis un conditionnement « à rebours » : on conditionne le passé par le futur, ce qui est parfaitement licite.

Notations. $B_k$ : « la $k$-ième boule tirée est blanche » ; $N_k$ son contraire.

La probabilité que la seconde soit blanche. Le couple $(B_1,N_1)$ est un système complet d'événements, de probabilités non nulles. La formule des probabilités totales donne $$P(B_2)=P(B_1)P_{B_1}(B_2)+P(N_1)P_{N_1}(B_2).$$

• $P(B_1)=\frac{5}{8}$ et, sachant $B_1$, il reste $7$ boules dont $4$ blanches : $P_{B_1}(B_2)=\frac{4}{7}$.
• $P(N_1)=\frac{3}{8}$ et, sachant $N_1$, il reste $7$ boules dont $5$ blanches : $P_{N_1}(B_2)=\frac{5}{7}$.

D'où $$P(B_2)=\frac{5}{8}\times \frac{4}{7}+\frac{3}{8}\times \frac{5}{7}=\frac{20}{56}+\frac{15}{56}=\frac{35}{56}=\frac{5}{8}.$$

Le conditionnement à rebours. Par définition de la probabilité conditionnelle, $$P_{B_2}(B_1)=\frac{P(B_1\cap B_2)}{P(B_2)}.$$ Le numérateur a déjà été calculé : $P(B_1\cap B_2)=\frac{5}{8}\times \frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}$. Donc $$P_{B_2}(B_1)=\frac{5/14}{5/8}=\frac{5}{14}\times \frac{8}{5}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}\approx 0,571.$$

Point délicat. Conditionner par un événement postérieur n'a rien d'illogique : $P_{B_2}(B_1)$ ne parle pas de causalité mais de mise à jour de l'information. La probabilité conditionnelle est symétrique dans sa définition ; seul le récit qu'on en fait a un sens temporel.