Trois façons de choisir quatre chiffres

Ce qu'on montre. Trois dénombrements qui diffèrent par deux questions : l'ordre compte-t-il, les répétitions sont-elles permises ?

Premier comptage : listes avec répétitions. Un code est une suite ordonnée de $4$ chiffres, chacun choisi librement parmi $10$. Les quatre choix sont indépendants, d'où $$10\times 10\times 10\times 10=10^4=10000\text{ codes.}$$

Deuxième comptage : listes sans répétition. Le premier chiffre se choisit parmi $10$, le deuxième parmi les $9$ restants, le troisième parmi $8$, le quatrième parmi $7$ : $$10\times 9\times 8\times 7=5040.$$ On peut l'écrire avec des factorielles : $\frac{10!}{6!}=5040$.

Troisième comptage : parties. Ici l'ordre ne compte plus : il s'agit de choisir une partie à $4$ éléments dans un ensemble à $10$, soit $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=\frac{5040}{24}=210.$$

Le lien entre les deux derniers. Chaque ensemble de $4$ chiffres distincts peut être ordonné de $4!=24$ façons, et chacune donne un code distinct. D'où $$5040=210\times 24,$$ ce qui vérifie la cohérence des deux comptages, et redonne la formule $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}\right)=\frac{n!}{p!(n-p)!}$.

Point délicat. Les trois nombres $10000$, $5040$ et $210$ répondent à trois questions différentes ; l'erreur classique consiste à employer un coefficient binomial là où l'ordre compte, ou une puissance là où les répétitions sont interdites. Avant tout calcul, il faut trancher les deux questions : ordre ? répétitions ?