Un événement indépendant de lui-même

Ce qu'on montre. Une caractérisation qui surprend, puis sa conséquence.

Indépendance de $A$ avec lui-même. Par définition, $A$ est indépendant de $A$ lorsque $P(A\cap A)=P(A)P(A)$. Or $A\cap A=A$, donc la condition s'écrit $$P(A)=P(A{)}^2,\text{soit}P(A)(1-P(A))=0.$$ Un produit de réels est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est : $$P(A)=0\text{ou}P(A)=1.$$ Réciproquement, si $P(A)$ vaut $0$ ou $1$, l'égalité $P(A)=P(A{)}^2$ est vérifiée. L'équivalence est donc établie.

La réciproque. Soit $A$ tel que $P(A)\in \{0,1\}$, et soit $B$ un événement quelconque.

Cas $P(A)=0$. Comme $A\cap B\subset A$, la croissance de la probabilité donne $0\le P(A\cap B)\le P(A)=0$, donc $P(A\cap B)=0$. Et $P(A)P(B)=0\times P(B)=0$. Les deux membres coïncident : $A$ et $B$ sont indépendants.

Cas $P(A)=1$. Alors $P(\overline{A})=1-P(A)=0$. Décomposons $B$ selon le système complet $(A,\overline{A})$ : $$P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B).$$ Or $\overline{A}\cap B\subset \overline{A}$, donc $P(\overline{A}\cap B)=0$ par le même argument que ci-dessus. Il reste $P(A\cap B)=P(B)=1\times P(B)=P(A)P(B)$ : indépendance encore.

Conclusion. Les événements indépendants de tous les autres sont exactement ceux de probabilité $0$ ou $1$.

Point délicat. « Indépendant » est une propriété de la probabilité, pas de l'ensemble : le même événement $A$ peut être indépendant de $B$ pour une probabilité $P$ et ne pas l'être pour une autre. Ici, changer $P$ change la liste des événements de probabilité $0$ ou $1$, donc la conclusion.