Un nombre pair de piles

Ce qu'on montre. Une relation de récurrence obtenue par les probabilités totales, puis sa résolution.

Initialisation. Avec $n=0$ lancer, on obtient $0$ pile, nombre pair : $p_0=1$.

La relation. Fixons $n$ et considérons les $n+1$ lancers. Notons $E$ l'événement « le nombre de piles parmi les $n+1$ lancers est pair », et conditionnons par ce qui s'est passé lors des $n$ premiers. Soit $A$ l'événement « le nombre de piles parmi les $n$ premiers est pair » : $(A,\overline{A})$ est un système complet, et $P(A)=p_n$.

• Sachant $A$, le total reste pair si et seulement si le $(n+1)$-ième lancer donne face, ce qui a la probabilité $1-p$ — le dernier lancer étant indépendant des précédents.
• Sachant $\overline{A}$, le total devient pair si et seulement si le dernier lancer donne pile, de probabilité $p$.

La formule des probabilités totales donne alors $$p_{n+1}=p_n(1-p)+(1-p_n)p=(1-2p)p_n+p.$$

Résolution. C'est une suite arithmético-géométrique de raison $a=1-2p$ et de constante $b=p$.

Cas $p\ne \frac{1}{2}$. Alors $a\ne 1$, et le point fixe $\ell$ vérifie $\ell =(1-2p)\ell +p$, soit $2p\ell =p$. Si $p\ne 0$, $\ell =\frac{1}{2}$ ; on vérifie que $\ell =\frac{1}{2}$ convient également lorsque $p=0$. Posons $v_n=p_n-\frac{1}{2}$ : $$v_{n+1}=p_{n+1}-\frac{1}{2}=(1-2p)p_n+p-\frac{1}{2}=(1-2p)\left(p_n-\frac{1}{2}\right)=(1-2p)v_n,$$ la dernière égalité se vérifiant en développant. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $1-2p$, avec $v_0=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$. Donc $$p_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(1-2p{)}^n=\frac{1+(1-2p{)}^n}{2}.$$

Cas $p=\frac{1}{2}$. La relation devient $p_{n+1}=\frac{1}{2}$, et la formule ci-dessus donne aussi $p_n=\frac{1}{2}$ pour $n\ge 1$ : elle reste valable.