Un système en série, un système en parallèle

Ce qu'on montre. Deux probabilités, l'une par produit direct, l'autre par passage au complémentaire.

Notations. Soit $F_k$ l'événement « le composant $k$ fonctionne », avec $P(F_k)=p$. Les $F_1,\dots ,F_n$ sont mutuellement indépendants par hypothèse.

Le montage en série. Il fonctionne si et seulement si $F_1\cap F_2\cap \cdots \cap F_n$ est réalisé. L'indépendance mutuelle donne $$P_{\text{seˊrie}}=P\left(\bigcap _{k=1}^n{F}_k\right)=\prod _{k=1}^{n}P(F_k)=p^n.$$

Le montage en parallèle. L'événement « au moins un fonctionne » a pour contraire « aucun ne fonctionne », c'est-à-dire $\overline{F_1}\cap \cdots \cap \overline{F_n}$. Les $\overline{F_k}$ sont eux aussi mutuellement indépendants (l'indépendance est stable par passage au complémentaire), et $P(\overline{F_k})=1-p$. Donc $$P_{\text{paralleˋle}}=1-\prod _{k=1}^n(1-p)=1-(1-p{)}^n.$$

Application numérique : $n=4$, $p=0,9$. $$P_{\text{seˊrie}}=0,9^4=0,6561,P_{\text{paralleˋle}}=1-0,1^4=1-0,0001=0,9999.$$

Point délicat. L'indépendance mutuelle est indispensable, et elle est strictement plus forte que l'indépendance deux à deux : c'est elle seule qui autorise à multiplier les $n$ probabilités d'un coup. Si les composants partageaient une cause de panne commune — une alimentation unique, par exemple — le calcul serait faux, et le montage en parallèle beaucoup moins efficace qu'annoncé.