Une boule transférée d'une urne à l'autre

Notons $T$ l'événement « la boule transférée est blanche » et $S$ « la seconde boule tirée est blanche ». Le couple $(T,\overline{T})$ est un système complet d'événements, avec $P(T)=\frac{3}{5}$ et $P(\overline{T})=\frac{2}{5}$.

Les probabilités conditionnelles. Après le transfert, l'urne $B$ contient $6$ boules. Si la transférée était blanche, elle en compte $2$ blanches ; sinon une seule :

$$P_T(S)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},P_{\overline{T}}(S)=\frac{1}{6}.$$

La formule des probabilités totales :

$$P(S)=\frac{3}{5}\times \frac{1}{3}+\frac{2}{5}\times \frac{1}{6}=\frac{6}{30}+\frac{2}{30}=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}\approx 0,267.$$

La formule de Bayes, qui renverse le conditionnement :

$$P_S(T)=\frac{P(T)P_T(S)}{P(S)}=\frac{6/30}{8/30}=\frac{3}{4}.$$

Lecture. Voir sortir une blanche fait passer la probabilité que la transférée l'ait été de $\frac{3}{5}=0,6$ à $\frac{3}{4}=0,75$ : l'observation renforce l'hypothèse qui la rendait la plus vraisemblable, sans la certifier.

Le point à retenir. Un énoncé en deux temps se traite toujours de la même façon : on conditionne par le premier temps (probabilités totales) pour aller vers l'avant, puis on utilise Bayes pour remonter du second temps vers le premier.