Une loi, ses moments, et une transformation affine

Ce qu'on montre. Les moments de $X$, ceux de $Y$, et la règle générale qui les relie.

Contrôle préalable. $0,1+0,4+0,3+0,2=1$ : c'est bien une loi de probabilité.

Espérance de $X$. $$E(X)=(-1)(0,1)+0(0,4)+2(0,3)+3(0,2)=-0,1+0,6+0,6=1,1.$$

Variance de $X$. Par le théorème de transfert, $$E\left(X^2\right)=1(0,1)+0(0,4)+4(0,3)+9(0,2)=0,1+1,2+1,8=3,1.$$ Puis, par Kœnig-Huygens, $$V(X)=E\left(X^2\right)-E(X{)}^2=3,1-1,21=1,89,\sigma (X)=\sqrt{1,89}\approx 1,375.$$

Loi de $Y=2X-1$. L'application $x\mapsto 2x-1$ est strictement croissante, donc injective : chaque valeur de $X$ donne une valeur distincte de $Y$, et les probabilités se transportent sans se regrouper. $$\begin{array}{ccccc}y& -3& -1& 3& 5\\ P(Y=y)& 0,1& 0,4& 0,3& 0,2\end{array}$$

Moments de $Y$. Par linéarité de l'espérance : $$E(Y)=2E(X)-1=2,2-1=1,2.$$ Et par la formule générale démontrée ci-dessous : $V(Y)=2^{2}V(X)=4\times 1,89=7,56$, d'où $\sigma (Y)=2\sigma (X)\approx 2,75$.

La formule générale. Soient $a,b$ réels. Posons $m=E(X)$, de sorte que $E(aX+b)=am+b$. Par transfert appliqué à $g(x)=(ax+b-(am+b){)}^2$ : $$V(aX+b)=E\left(\right(aX+b-(am+b){)}^2)=E((a(X-m){)}^2)=E(a^2(X-m{)}^2).$$ La constante $a^2$ sort par linéarité : $$V(aX+b)=a^{2}E((X-m{)}^2)=a^{2}V(X).$$