Une loi uniforme sur les faces d'un dé

Ce qu'on montre. La reconnaissance de la loi, puis quatre valeurs.

La loi. Le dé étant équilibré, chacune des six faces a la même probabilité $\frac{1}{6}$ : $$X(\Omega )=[[1,6]],P(X=k)=\frac{1}{6}\text{pour }1\le k\le 6.$$ C'est exactement la définition de la loi uniforme sur $[[1,6]]$, notée $X\hookrightarrow \mathcal{U}([[1,6]])$.

Contrôle : la somme des probabilités vaut $6\times \frac{1}{6}=1$.

Espérance et variance. Les formules du cours pour $\mathcal{U}([[1,n]])$ donnent, avec $n=6$ : $$E(X)=\frac{n+1}{2}=\frac{7}{2}=3,5,V(X)=\frac{n^2-1}{12}=\frac{35}{12}\approx 2,917.$$

Contrôle de l'espérance par la définition : $\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3,5$.

Les deux probabilités. L'événement $[X\ge 4]$ correspond à $\{4,5,6\}$, soit trois issues : $$P(X\ge 4)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$ L'événement « $X$ est pair » correspond à $\{2,4,6\}$, soit trois issues également : $$P(X\text{ pair})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$

Point délicat. L'espérance $3,5$ n'est pas une valeur que $X$ peut prendre : l'espérance est une moyenne pondérée, pas un résultat possible. Il n'y a là aucune contradiction.