Une main de cinq cartes

Ce qu'on montre. Deux probabilités, dans un modèle d'équiprobabilité qu'il faut d'abord justifier.

Le modèle. Un tirage simultané de $5$ cartes est une partie à $5$ éléments du jeu : l'ordre ne compte pas. L'univers $\Omega$ est donc l'ensemble de ces parties, et $$\mathrm{card}\Omega =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{32}{5}\right)=\frac{32\times 31\times 30\times 29\times 28}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=201376.$$ Les cartes étant tirées au hasard, toutes les mains sont équiprobables : $P(A)=\frac{\mathrm{card}A}{\mathrm{card}\Omega }$.

Exactement deux rois. Constituer une telle main, c'est faire deux choix successifs et indépendants l'un de l'autre :

• choisir les $2$ rois parmi les $4$ : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ façons ;
• choisir les $3$ autres cartes parmi les $28$ qui ne sont pas des rois : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{28}{3}\right)=\frac{28\times 27\times 26}{6}=3276$ façons.

Le nombre de mains favorables est le produit, soit $6\times 3276=19656$, d'où $$P(\text{exactement 2 rois})=\frac{19656}{201376}\approx 0,098.$$

Au moins un roi : par l'événement contraire. Compter directement « au moins un » obligerait à sommer les cas $1$, $2$, $3$, $4$ rois. On passe au complémentaire, qui est « aucun roi », c'est-à-dire les mains formées des seules $28$ cartes qui ne sont pas des rois : $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{28}{5}\right)=\frac{28\times 27\times 26\times 25\times 24}{120}=98280.$$ Donc $$P(\text{au moins un roi})=1-\frac{98280}{201376}=\frac{103096}{201376}\approx 0,512.$$

Point délicat. Il ne faut surtout pas compter « au moins un roi » comme $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{31}{4}\right)$ : cette expression compte plusieurs fois la même main, une fois pour chaque roi qu'on aurait pu désigner comme « le » roi choisi. Le passage au complémentaire évite entièrement ce piège.