Une pièce équilibrée, une pièce truquée

Ce qu'on montre. Une probabilité totale : le résultat dépend d'un premier tirage caché.

Les événements. Notons $E$ : « la pièce choisie est l'équilibrée », $T$ : « c'est la truquée », et $\Pi$ : « le lancer donne pile ».

Le choix étant fait au hasard entre deux pièces indiscernables, $$P(E)=P(T)=\frac{1}{2}.$$ Les événements $E$ et $T$ sont incompatibles et de réunion $\Omega$ : ils forment un système complet, et tous deux ont une probabilité non nulle.

Les probabilités conditionnelles. Elles sont données par l'énoncé : $$P_E(\Pi )=0,5,P_T(\Pi )=0,8.$$

La formule des probabilités totales. $$P(\Pi )=P(E)P_E(\Pi )+P(T)P_T(\Pi )=\frac{1}{2}\times 0,5+\frac{1}{2}\times 0,8=0,25+0,4=0,65.$$

Contrôle de plausibilité. Le résultat $0,65$ est la moyenne de $0,5$ et $0,8$, ce qui est attendu puisque les deux pièces sont également probables. Il est compris entre les deux valeurs extrêmes, comme doit l'être toute moyenne pondérée.

Point délicat. Il ne faut pas confondre $P(\Pi )$ — qui vaut $0,65$ — avec $P_T(\Pi )=0,8$. La première intègre l'incertitude sur la pièce, la seconde suppose cette incertitude levée. Écrire directement « la probabilité de pile est $0,8$ » revient à oublier qu'on ne sait pas quelle pièce on tient.