Une uniforme translatée

L'intervalle $[[-3,4]]$ compte $8$ valeurs, chacune de probabilité $\frac{1}{8}$.

Directement.

$$E(X)=\frac{-3-2-1+0+1+2+3+4}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.$$

Et par la formule du cours, $V(X)=\frac{(b-a+1{)}^2-1}{12}=\frac{8^2-1}{12}=\frac{63}{12}=5,25$.

Par translation. Posons $Y=X+4$ : quand $X$ parcourt $[[-3,4]]$, $Y$ parcourt $[[1,8]]$ avec la même équiprobabilité, donc $Y\hookrightarrow \mathcal{U}([[1,8]])$ et

$$E(Y)=\frac{8+1}{2}=\frac{9}{2},V(Y)=\frac{8^2-1}{12}=\frac{63}{12}.$$

Comme $X=Y-4$ :

$$E(X)=E(Y)-4=\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2},V(X)=V(Y)=5,25.$$

Les deux méthodes concordent.

Ce que la seconde met en évidence : une translation déplace l'espérance et ne change pas la variance. C'est le cas $a=1$ de $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ — et la raison pour laquelle on peut toujours se ramener à une variable centrée sans rien perdre de la dispersion.