Variance nulle et variable certaine

Sens direct. Si $X$ est certaine, disons $X=a$ presque sûrement, alors $E(X)=a$ et

$$V(X)=E[(X-a{)}^2]=E[0]=0.$$

Réciproque. Supposons $V(X)=0$ et posons $m=E(X)$. Alors

$$V(X)=\sum _x(x-m{)}^{2}P(X=x)=0.$$

C'est une somme de termes tous positifs ou nuls. Elle ne peut être nulle que si chaque terme l'est : pour toute valeur $x$ prise avec une probabilité non nulle, $(x-m{)}^2=0$, donc $x=m$. La seule valeur possible est $m$ : $X$ est certaine.

L'argument à retenir — une somme de termes positifs est nulle si et seulement si tous le sont — sert bien au-delà de ce cas. Il dit que la variance mesure vraiment la dispersion : elle ne s'annule que dans le cas extrême où il n'y a plus rien à disperser.