A³ = A et somme directe — exercice corrigé de mathématiques approfondies (ECG 1re année) (chapitre 7)

A^{3} = A

et somme directe

Algèbre linéaire en dimension finie · Applications linéaires et formule du rang · niveau 2

Énoncé

Soit $A$ telle que $A^{3} = A$ . Montrer que $R^{n} = ker A \oplus Im A$ .

Corrigé

L'intersection est nulle. Soit $y \in ker A \cap Im A$ . Étant dans l'image, $y = A x$ pour un certain $x$ . Alors, en utilisant $A^{3} = A$ :

$y = A x = A^{3} x = A^{2} (A x) = A^{2} y = A (A y) = A \times 0 = 0,$

puisque $y \in ker A$ . Donc $ker A \cap Im A = {0}$ .

Les dimensions se complètent. Le théorème du rang donne $dim ker A + rg (A) = n$ .

Conclusion. Somme directe et dimensions qui totalisent $n$ : $R^{n} = ker A \oplus Im A$ .

La décomposition explicite. Tout $x$ s'écrit $x = \in k e r A (x - A^{2} x) + \in Im A A^{2} x$ , car $A (x - A^{2} x) = A x - A^{3} x = 0$ et $A^{2} x = A (A x)$ est bien une image.

Autrement dit $A^{2}$ est un projecteur ( $(A^{2})^{2} = A^{4} = A^{2}$ ), celui sur l'image parallèlement au noyau.

A3=A et somme directe

Énoncé

Corrigé

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