$A^3=A$ et somme directe

L'intersection est nulle. Soit $y\in \ker A\cap \mathrm{Im}A$. Étant dans l'image, $y=Ax$ pour un certain $x$. Alors, en utilisant $A^3=A$ :

$$y=Ax=A^{3}x=A^2(Ax)=A^{2}y=A(Ay)=A\times 0=0,$$

puisque $y\in \ker A$. Donc $\ker A\cap \mathrm{Im}A=\{0\}$.

Les dimensions se complètent. Le théorème du rang donne $\dim \ker A+\mathrm{rg}(A)=n$.

Conclusion. Somme directe et dimensions qui totalisent $n$ : ${\mathbb{R}}^n=\ker A\oplus \mathrm{Im}A$.

La décomposition explicite. Tout $x$ s'écrit $x=\underset{\in \ker A}{\underbrace{(x-A^{2}x)}}+\underset{\in \mathrm{Im}A}{\underbrace{A^{2}x}}$, car $A(x-A^{2}x)=Ax-A^{3}x=0$ et $A^{2}x=A(Ax)$ est bien une image.

Autrement dit $A^2$ est un projecteur ($(A^2{)}^2=A^4=A^2$), celui sur l'image parallèlement au noyau.