Compléter une famille en une base

Ce qu'on montre. La liberté, puis l'emploi du théorème de la base incomplète — en vérifiant que le vecteur ajouté conserve la liberté.

La famille est libre. Soit $a{v}_1+b{v}_2=0$, c'est-à-dire $(a,2a+b,b)=(0,0,0)$. La première coordonnée donne $a=0$, la troisième donne $b=0$. La famille est libre.

La complétion. Le théorème de la base incomplète assure qu'on peut compléter cette famille libre en une base de ${\mathbb{R}}^3$ avec des vecteurs pris dans une famille génératrice, par exemple la base canonique $(e_1,e_2,e_3)$. Essayons $e_3=(0,0,1)$ et vérifions la liberté de $(v_1,v_2,e_3)$. Soit $$a{v}_1+b{v}_2+c{e}_3=(a,2a+b,b+c)=(0,0,0).$$ La première coordonnée donne $a=0$, la deuxième donne alors $b=0$, et la troisième $c=0$.

Conclusion. $(v_1,v_2,e_3)$ est une famille libre de $3$ vecteurs dans ${\mathbb{R}}^3$, espace de dimension $3$ : c'est une base, d'après la caractérisation du cours.

Remarque. $e_1=(1,0,0)$ conviendrait aussi ; en revanche il faut vérifier à chaque fois, car un vecteur appartenant à $\mathrm{Vect}(v_1,v_2)$ ne compléterait rien.