D'une symétrie à un projecteur

$p$ est un projecteur. Les endomorphismes $s$ et ${\mathrm{id}}_E$ commutent, ce qui autorise le développement du carré :

$$p\circ p=\frac{1}{4}(s\circ s+2s+{\mathrm{id}}_E)=\frac{1}{4}({\mathrm{id}}_E+2s+{\mathrm{id}}_E)=\frac{1}{2}(s+{\mathrm{id}}_E)=p.$$

La caractérisation $p\circ p=p$ est vérifiée : $p$ est un projecteur, et le cours donne aussitôt $E=\ker p\oplus \mathrm{Im}p$.

Le noyau de $p$. $p(x)=0$ équivaut à $s(x)+x=0$, c'est-à-dire $x\in \ker (s+{\mathrm{id}}_E)$.

L'image de $p$. Pour un projecteur, l'image est l'ensemble des points fixes. En effet, si $p(x)=x$ alors $x\in \mathrm{Im}p$ ; et réciproquement, si $x=p(y)$ alors $p(x)=p\circ p(y)=p(y)=x$. Or

$$p(x)=x⟺\frac{1}{2}(s(x)+x)=x⟺s(x)=x,$$

donc $\mathrm{Im}p=\ker (s-{\mathrm{id}}_E)$.

Conclusion. En reportant les deux identifications dans $E=\ker p\oplus \mathrm{Im}p$ :

$$E=\ker (s-{\mathrm{id}}_E)\oplus \ker (s+{\mathrm{id}}_E).$$

Le point à retenir. Une relation algébrique sur un endomorphisme se convertit en décomposition de l'espace. Ici $s\circ s=\mathrm{id}$ : les vecteurs se répartissent entre ceux que $s$ fixe et ceux qu'il retourne, et le projecteur $\frac{1}{2}(s+\mathrm{id})$ est la machine qui opère le partage.