Deux applications qui se composent en l'identité

Ce qu'on montre. Trois conséquences d'une seule hypothèse. On emploie la caractérisation de l'injectivité par le noyau, la formule du rang, et la caractérisation d'une somme directe par l'intersection et les dimensions.

$u$ est injective. Soit $x\in \ker u$, c'est-à-dire $u(x)=0$. En appliquant $v$ : $$x={\mathrm{id}}_E(x)=(v\circ u)(x)=v(u(x))=v(0)=0.$$ Donc $\ker u=\{0\}$ et $u$ est injective.

$v$ est surjective. Soit $x\in E$. Posons $y=u(x)\in F$. Alors $v(y)=(v\circ u)(x)=x$, donc $x\in \mathrm{Im}v$. Comme $x$ était quelconque, $\mathrm{Im}v=E$.

L'intersection est nulle. Soit $y\in \mathrm{Im}u\cap \ker v$. Écrivons $y=u(x)$ pour un $x\in E$. Comme $v(y)=0$, $$0=v(u(x))=x.$$ Donc $x=0$, puis $y=u(0)=0$ : $\mathrm{Im}u\cap \ker v=\{0\}$.

Les dimensions. La formule du rang appliquée à $u$ donne $\dim E=\dim \ker u+\mathrm{rg}u=0+\mathrm{rg}u$, donc $\dim \mathrm{Im}u=\dim E$. Appliquée à $v$, elle donne $\dim F=\dim \ker v+\mathrm{rg}v$, et $\mathrm{rg}v=\dim E$ puisque $v$ est surjective, d'où $\dim \ker v=\dim F-\dim E$. Par conséquent $$\dim \mathrm{Im}u+\dim \ker v=\dim E+(\dim F-\dim E)=\dim F.$$

Conclusion. Intersection réduite à $\{0\}$ et somme des dimensions égale à $\dim F$ : la caractérisation du cours donne $$F=\mathrm{Im}u\oplus \ker v.$$

Contrôle : la décomposition explicite. Pour $y\in F$, écrivons $$y=\underset{\in \mathrm{Im}u}{\underbrace{u(v(y))}}+\underset{\in \ker v}{\underbrace{(y-u(v(y)))}}.$$ Le second terme est bien dans $\ker v$ car $v(y-u(v(y)))=v(y)-(v\circ u)(v(y))=v(y)-v(y)=0$. On retrouve la somme directe, et l'on reconnaît au passage que $y\mapsto u(v(y))$ est le projecteur sur $\mathrm{Im}u$ parallèlement à $\ker v$.