mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 7 · Exercice d'entraînement

Deux conditions en un point, et la base qui apparaît

Algèbre linéaire en dimension finie · Dimension et familles · niveau 2

Énoncé

Dans $R_{3} [x]$ , on pose $F = {P \in R_{3} [x] ∣ P (1) = 0 et P^{'} (1) = 0}$ . Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $R_{3} [x]$ , en donner une base, puis sa dimension.

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Élève

Pour la base, j'écris $P = a + b x + c x^{2} + d x^{3}$ et j'obtiens deux équations sur $a, b, c, d$ . Ça doit aboutir, mais je ne vois pas de base apparaître naturellement.

Ta méthode aboutit, mais il y a plus parlant. Que signifient ensemble les deux conditions $P (1) = 0$ et $P^{'} (1) = 0$ pour la racine $1$ de $P$ ?

Élève

Que $1$ est racine au moins double, donc $(x - 1)^{2}$ divise $P$ . Comme $P$ est de degré au plus $3$ , le quotient est de degré au plus $1$ .

Exactement. Quelle famille de polynômes engendre alors $F$ , et comment montres-tu qu'elle est libre ? Au fait, pour la structure de sous-espace, de quelle application linéaire $F$ est-il le noyau ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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