Deux plans de ${\mathbb{R}}^4$ : leur intersection, puis leur somme

Ce qu'on montre. Qu'on calcule l'intersection à la main, et que la formule $\dim (F+G)=\dim F+\dim G-\dim (F\cap G)$ livre le reste sans autre calcul.

Les deux plans sont bien de dimension $2$. Les vecteurs $(1,0,1,0)$ et $(0,1,0,1)$ ne sont pas proportionnels (le premier a sa deuxième coordonnée nulle, le second non), donc la famille est libre et $\dim F=2$. De même $(1,1,1,1)$ et $(1,0,0,1)$ ne sont pas proportionnels, donc $\dim G=2$.

L'intersection. Un vecteur de $F$ s'écrit $a(1,0,1,0)+b(0,1,0,1)=(a,b,a,b)$, un vecteur de $G$ s'écrit $c(1,1,1,1)+d(1,0,0,1)=(c+d,c,c,c+d)$. L'égalité coordonnée par coordonnée donne $$a=c+d,b=c,a=c,b=c+d.$$ Les première et troisième équations donnent $c+d=c$, donc $d=0$ ; il reste $a=c$ et $b=c$. Le vecteur commun vaut alors $(c,c,c,c)$, d'où $$F\cap G=\mathrm{Vect}((1,1,1,1)),\dim (F\cap G)=1.$$

La somme n'est pas directe. L'intersection n'est pas réduite à $\{0\}$ : la caractérisation du cours interdit la somme directe. Concrètement, $(1,1,1,1)$ admet deux décompositions distinctes dans $F+G$ (l'une avec le vecteur nul de $G$, l'autre avec le vecteur nul de $F$).

La dimension de la somme. La formule du cours donne $$\dim (F+G)=\dim F+\dim G-\dim (F\cap G)=2+2-1=3.$$ Comme $3<4$, on a $F+G\ne {\mathbb{R}}^4$.

Une équation de $F+G$. Cherchons une forme linéaire $\psi (x,y,z,t)=\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta t$ nulle sur les générateurs. Sur $(1,0,1,0)$ : $\alpha +\gamma =0$ ; sur $(0,1,0,1)$ : $\beta +\delta =0$ ; sur $(1,0,0,1)$ : $\alpha +\delta =0$. En prenant $\alpha =1$, on obtient $\gamma =-1$, $\delta =-1$, $\beta =1$, et l'on vérifie sur le dernier générateur : $\psi (1,1,1,1)=1+1-1-1=0$. Donc $$F+G=\{(x,y,z,t)\in {\mathbb{R}}^4\mid x+y-z-t=0\},$$ hyperplan de dimension $3$, ce qui recoupe le calcul précédent.