Écrire une matrice, colonne par colonne

Ce qu'on montre. Que les colonnes de la matrice sont les images des vecteurs de la base de départ, écrites dans la base d'arrivée — et rien d'autre.

Les images de la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$. $$u(1,0,0)=(1,0),u(0,1,0)=(0,1),u(0,0,1)=(-1,1).$$

La matrice. Ces trois vecteurs de ${\mathbb{R}}^2$ deviennent les trois colonnes, dans cet ordre. La matrice a donc $2$ lignes et $3$ colonnes : $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R}).$$

Le produit. La colonne des coordonnées de $(1,2,3)$ est $X=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$, et $$AX=\left(\begin{array}{c}1\times 1+0\times 2+(-1)\times 3\\ 0\times 1+1\times 2+1\times 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right).$$

Vérification directe. $u(1,2,3)=(1-3,2+3)=(-2,5)$. Les deux calculs coïncident, ce qui confirme la proposition du cours : la colonne de $u(x)$ s'obtient en multipliant la matrice par la colonne de $x$.

Point délicat. Le format de $A$ est $2\times 3$ et non $3\times 2$ : le nombre de colonnes est la dimension de l'espace de départ, celui de lignes la dimension de l'espace d'arrivée.