Évaluer un polynôme en deux points

Ce qu'on montre. Que l'image se lit sur les images des vecteurs d'une famille génératrice, et que le noyau se lit sur une factorisation.

Linéarité. Pour $P,Q\in {\mathbb{R}}_3[x]$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$, l'évaluation en un point est linéaire : $$u(\lambda P+\mu Q)=(\lambda P(0)+\mu Q(0),\lambda P(1)+\mu Q(1))=\lambda u(P)+\mu u(Q).$$

L'image. D'après le cours, l'image d'une famille génératrice engendre l'image. La famille $(1,x,x^2,x^3)$ engendre ${\mathbb{R}}_3[x]$, et $$u(1)=(1,1),u(x)=(0,1),u(x^2)=(0,1),u(x^3)=(0,1).$$ Les deux premiers vecteurs $(1,1)$ et $(0,1)$ forment une famille libre de ${\mathbb{R}}^2$ (une relation $a(1,1)+b(0,1)=0$ donne $a=0$ par la première coordonnée, puis $b=0$). Donc $\mathrm{Im}u={\mathbb{R}}^2$, l'application est surjective et $$\mathrm{rg}(u)=2.$$

Le noyau. $P\in \ker u$ signifie $P(0)=P(1)=0$, c'est-à-dire que $0$ et $1$ sont racines de $P$. Ces racines étant distinctes, $x(x-1)$ divise $P$, et comme $\mathrm{deg}P\le 3$ le quotient est de degré au plus $1$ : $$\ker u=\{x(x-1)(\alpha +\beta x)\mid (\alpha ,\beta )\in {\mathbb{R}}^2\}=\mathrm{Vect}(x(x-1),x^2(x-1)).$$ Ces deux polynômes sont de degrés $2$ et $3$, donc libres (le coefficient de $x^3$ d'une combinaison nulle donne le second coefficient nul, puis celui de $x^2$ donne le premier). Ainsi $\dim \ker u=2$.

La formule du rang. $$\dim {\mathbb{R}}_3[x]=4=\underset{\dim \ker u}{\underbrace{2}}+\underset{\mathrm{rg}(u)}{\underbrace{2}}.$$ L'égalité est vérifiée.

Point délicat. $u$ est surjective sans être injective : sa source est de dimension $4$, son but de dimension $2$. La proposition « injective $⟺$ surjective » du cours exige $\dim E=\dim F$ et ne s'applique donc pas ici.