La matrice d'un projecteur dans une base adaptée

Ce qu'on montre. Qu'une base adaptée à la décomposition rend la matrice du projecteur immédiate, et que le calcul d'une image se ramène alors à une lecture de coordonnées.

La somme est directe. Les vecteurs $f_1=(1,1,0)$ et $f_2=(0,1,1)$ ne sont pas proportionnels, donc $\dim F=2$ ; et $\dim G=1$. Cherchons l'intersection : si $a{f}_1+b{f}_2=(c,0,0)$, les coordonnées donnent $$a=c,a+b=0,b=0.$$ D'où $b=0$, puis $a=0$, puis $c=0$. Donc $F\cap G=\{0\}$, et comme $\dim F+\dim G=3=\dim {\mathbb{R}}^3$, on a bien ${\mathbb{R}}^3=F\oplus G$. Le projecteur $p$ sur $F$ parallèlement à $G$ est donc défini. Par concaténation d'une base de $F$ et d'une base de $G$, la famille ${\mathcal{B}}^{\prime }$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

La matrice dans ${\mathcal{B}}^{\prime }$. Par définition du projecteur, $p$ vaut l'identité sur $F$ et s'annule sur $G$ : $$p(f_1)=f_1,p(f_2)=f_2,p(1,0,0)=0.$$ Les colonnes étant les coordonnées de ces images dans ${\mathcal{B}}^{\prime }$ : $${\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}(p)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$ On lit dessus que $\mathrm{rg}(p)=2=\dim F$ et $\dim \ker p=1=\dim G$, conformément à la formule du rang.

Calcul de $p(1,2,3)$. Décomposons $(1,2,3)=a{f}_1+b{f}_2+c(1,0,0)$. Les coordonnées donnent $$a+c=1,a+b=2,b=3.$$ Donc $b=3$, puis $a=-1$, puis $c=2$. La composante dans $F$ est $$p(1,2,3)=a{f}_1+b{f}_2=-(1,1,0)+3(0,1,1)=(-1,2,3).$$

Vérification. $(1,2,3)-(-1,2,3)=(2,0,0)$, qui appartient bien à $G$. La décomposition est donc $(1,2,3)=(-1,2,3)+(2,0,0)$, le premier terme dans $F$ (car $-f_1+3f_2=(-1,2,3)$), le second dans $G$.

Point délicat. La matrice ci-dessus est celle de $p$ dans ${\mathcal{B}}^{\prime }$ seulement : dans la base canonique elle n'aurait aucune de ces trois colonnes. Changer de base ne change pas l'application, mais change entièrement la matrice qui la représente.