La matrice d'une translation de variable

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 7 — Algèbre linéaire en dimension finie · Matrices, changement de base et polynômes annulateurs

Énoncé

Écrire la matrice de $P \mapsto P (x + 1)$ de $R_{2} [x]$ dans lui-même, relativement à la base $(1, x, x^{2})$ .

Corrigé

On calcule l'image de chaque vecteur de base, puis on lit ses coordonnées en colonne :

$1 \mapsto 1, x \mapsto x + 1, x^{2} \mapsto (x + 1)^{2} = 1 + 2 x + x^{2} .$

D'où

$M = 100110121 .$

Trois contrôles. La matrice est triangulaire supérieure — logique, puisque l'application ne fait pas monter le degré. Sa diagonale ne contient que des $1$ : elle est inversible, ce qui traduit la bijectivité (la réciproque est $P \mapsto P (x - 1)$ ). Et ses colonnes sont les lignes du triangle de Pascal, car $(x + 1)^{k} = \sum_{j} (j k) x^{j}$ .

Vérification sur $P = x^{2}$ : ses coordonnées sont $(0, 0, 1)$ , et $M (0, 0, 1)^{T} = (1, 2, 1)^{T}$ , soit $1 + 2 x + x^{2}$ . C'est bien $(x + 1)^{2}$ .

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