La matrice d'une translation de variable

On calcule l'image de chaque vecteur de base, puis on lit ses coordonnées en colonne :

$$1\mapsto 1,x\mapsto x+1,x^2\mapsto (x+1{)}^2=1+2x+x^2.$$

D'où

$$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Trois contrôles. La matrice est triangulaire supérieure — logique, puisque l'application ne fait pas monter le degré. Sa diagonale ne contient que des $1$ : elle est inversible, ce qui traduit la bijectivité (la réciproque est $P\mapsto P(x-1)$). Et ses colonnes sont les lignes du triangle de Pascal, car $(x+1{)}^k={\sum }_j(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})x^j$.

Vérification sur $P=x^2$ : ses coordonnées sont $(0,0,1)$, et $M(0,0,1{)}^{\mathsf{T}}=(1,2,1{)}^{\mathsf{T}}$, soit $1+2x+x^2$. C'est bien $(x+1{)}^2$.