La matrice de $P\mapsto P-P^{\prime }$

Ce qu'on montre. Que les colonnes de $A$ sont les images des vecteurs de la base, puis que la forme triangulaire de $A$ suffit à conclure à la bijectivité — sans aucun calcul d'inverse.

Les images de la base. $$u(1)=1-0=1,u(x)=x-1,u(x^2)=x^2-2x.$$ Écrites en coordonnées dans $(1,x,x^2)$, ces images valent $(1,0,0)$, $(-1,1,0)$ et $(0,-2,1)$. Ce sont les colonnes de la matrice : $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

$u$ est bijective. Montrons que $u$ est injective. Soit $P=a+bx+c{x}^2$ avec $u(P)=0$, c'est-à-dire $AX=0$ où $X={}^t(a,b,c)$. Le système s'écrit $$a-b=0,b-2c=0,c=0.$$ En remontant : $c=0$, puis $b=0$, puis $a=0$. Donc $\ker u=\{0\}$ et $u$ est injective. Comme $u$ est un endomorphisme d'un espace de dimension finie, la proposition du cours (injective $⟺$ surjective $⟺$ bijective lorsque départ et arrivée ont même dimension) donne la bijectivité.

Résoudre $u(P)=x^2$. Posons $P=a+bx+c{x}^2$. Alors $P^{\prime }=b+2cx$ et $$P-P^{\prime }=(a-b)+(b-2c)x+c{x}^2.$$ L'identification avec $x^2$ donne, en partant du degré le plus haut : $$c=1,b-2c=0\Rightarrow b=2,a-b=0\Rightarrow a=2.$$ Donc $$P=x^2+2x+2.$$

Vérification. $P^{\prime }=2x+2$, donc $P-P^{\prime }=x^2+2x+2-2x-2=x^2$. Conforme.

Point délicat. La solution est unique parce que $u$ est bijective : c'est ce qui autorise à écrire « le » polynôme $P$. Sans cette bijectivité, l'identification aurait pu donner un système incompatible ou une infinité de solutions.